4.1. Плоскость. Задание плоскости на
чертеже. Принадлежность точки и прямой
плоскости.
Плоскость на чертеже может быть задана:
1 – тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2 – прямой и точкой вне этой прямой;
3 – двумя пересекающимися прямыми;
4 – двумя параллельными прямыми;
5 – плоской фигурой (например, треугольник);
6 – следами (линии пересечения плоскости с плоскостями
проекций).

Принадлежность точки и прямой плоскости:
1. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит
через две точки, принадлежащие данной плоскости, т.е.
пересекает другие прямые, лежащие в этой плоскости;
2. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит
через точку, принадлежащую плоскости (пересекает другую
прямую данной плоскости), и параллельна прямой, лежащей в
этой плоскости;
3. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит
прямой, лежащей в данной плоскости.
Чтобы построить точку в плоскости, нужно построить в
плоскости прямую и на ней задать точку.

Пример 1
α(a b)
l α, m α
A α

Пример 2
β(c // d)
m β, l β
m // c // d
m" ? l" ?

10.

11.

12.

13.

4.2. Следы плоскости
Следы плоскости – это линии, по которым плоскость
пересекает плоскости проекций.

14.

αН – горизонтальный след
αV – фронтальный след
αх – точка схода следов

15.

l α
N – фронтальный след
прямой l
M – горизонтальный след
прямой l
Если прямая принадлежит плоскости, заданной следами,
то следы прямой лежат на одноименных следах плоскости.

16. 4.3. Главные линии плоскости

Главные линии плоскости – это линии, лежащие в
плоскости и параллельные плоскостям проекций. Это
горизонталь и фронталь.
Горизонталь – это прямая, принадлежащая плоскости, и
параллельная горизонтальной плоскости проекций Н. Ее
фронтальная проекция h" всегда параллельна оси ОХ, а
горизонтальная проекция h" – есть натуральная величина этой
прямой.
Фронталь – это прямая, принадлежащая плоскости, и
параллельная фронтальной плоскости проекций V. Ее
горизонтальная проекция v" всегда параллельна оси ОХ, а
фронтальная проекция v" – есть натуральная величина этой
прямой.

17.

Задача 1. Плоскость задана следами.
горизонталь и фронталь плоскости.
Построить
α(αH αV)
h α, v α

18.

Н, V – нулевая горизонталь и фронталь

19.

20.

21.

22.

h // H – горизонталь плоскости α
v // V – фронталь плоскости α

23.

Задача 2. Плоскость задана пересекающимися прямыми
a и b. Построить горизонталь и фронталь плоскости.
α(a b)

24.

25.

26.

27.

28.

29. 4.4. Линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций. Определение углов наклона плоскости к плоскостям проекций

Линия наибольшего наклона (л.н.н.) к плоскости Н (V) –
это
прямая,
принадлежащая
этой
плоскости
и
перпендикулярная к горизонтали (фронтали) плоскости.
Линию наибольшего наклона к плоскости Н называют еще
линией ската.
С помощью линий наибольшего наклона определяют углы
наклона заданной плоскости к плоскостям проекций.

30.

31.

Пример 3: Определить угол наклона плоскости (а ∩ b) к
горизонтальной плоскости проекций Н.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

Алгоритм решения задачи:
1. Проводим в плоскости горизонталь h;
h" // ОХ;
h" – н.в. горизонтали.
2. Из произвольной точки (т. А) строим к н.в. горизонтали
перпендикуляр А"M".
АМ есть л.н.н.; А"M" h".
3. Определяем натуральную величину отрезка
способом прямоугольного треугольника.
< А"M"А0 = <α° - угол между плоскостью и плоскостью Н.

42.

Пример 4: Определить угол наклона плоскости α (αH ∩ αV)
к фронтальной плоскости проекций V.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

1.Точку N берем
произвольно.
2.Строим из т. N
перпендикуляр
к
следу αV.
3.Определяем н.в.
перпендикуляра
MN
способом
прямоугольного
треугольника.
4. < M""N""M0 =
< ° - угол между
плоскостью α и
плоскостью V.

50.

Пример 5: Построить следы плоскости α, заданной своей
линией ската MN.
1. MN – линия наибольшего наклона. М’N’ горизонтали
плоскости.

51.

2. Из т. M" строим перпендикуляр к M"N". Это есть след αH.

52.

3. N"" αV.
Соединяем αх и N"",
получаем αV

53.

54. 4.5. Проецирующие плоскости. Прямые и точки в проецирующих плоскостях.

Плоскость по отношению к плоскостям проекций может
занимать следующие положения:
плоскости общего положения,
проецирующей плоскости,
плоскости уровня.
Плоскость общего положения – это плоскость, которая
не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.
Проецирующая
плоскость
–
плоскость,
перпендикулярная к какой либо одной плоскости проекций.
Если плоскость перпендикулярна плоскости Н, то она
называется горизонтально-проецирующая, если плоскости
V – фронтально-проецирующая, если плоскости W –
профильно-проецирующая.

55.

Горизонтально-проецирующая плоскость α.
α Н, эта плоскость проецируется на плоскость Н в
прямую линию. Этой линии принадлежат горизонтальные
проекции точек и линий, лежащих в плоскости α.
< ° угол между плоскостью α и фронтальной плоскостью
проекций V.

56.

Горизонтально-проецирующая плоскость может быть
задана на чертеже одной своей горизонтальной проекцией.

57.

Фронтально-проецирующая плоскость
V, эта плоскость проецируется на плоскость V в
прямую линию.
< α° угол между плоскостью и горизонтальной
плоскостью проекций H.

58.

Плоскость уровня
Плоскость уровня – плоскость, параллельная какой-либо
плоскости проекций (это частный случай проецирующей
плоскости). В зависимости от того, какой проецирующей
плоскости параллельна плоскость уровня, различают:
горизонтальную, фронтальную и профильную плоскости.
Любая фигура такой плоскости проецируется на
параллельную ей плоскость проекции в натуральную
величину, а на две другие - в прямую линию.

ПЛОСКОСТЬ, плоскости, мн. плоскости, плоскостей, жен. 1. только ед. отвлеч. сущ. к плоский (книжн.). Плоскость груди. Плоскость острот. 2. Поверхность, имеющая только два измерения, так что между любыми двумя точками ее можно провести прямую,… … Толковый словарь Ушакова

плоскость - См … Словарь синонимов

плоскость X-Y - горизонтальная плоскость Плоскость, определяемая осями X и Y [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы горизонтальная плоскость EN X Y plane …

ПЛОСКОСТЬ - простейшая поверхность. Понятие плоскость (подобно точке и прямой) принадлежит к числу основных понятий геометрии. Плоскость обладает тем свойством, что любая прямая, соединяющая две ее точки, целиком принадлежит ей … Большой Энциклопедический словарь

Плоскость - период времени, в котором цена не повышается и не падет. Плоскость период времени, когда закрыты все позиции. По английски: Flat См. также: Тренды Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь

плоскость U - U плоскость обрабатывает данные пользователя, проходящие через систему G PON. U плоскость обеспечивает связь между клиентами ATM или клиентами GEM (МСЭ Т G.984.3). Тематики… … Справочник технического переводчика

ПЛОСКОСТЬ - ПЛОСКОСТЬ, в математике плоская поверхность, такая, что любая прямая, соединяющая две ее точки, целиком принадлежит этой поверхности. Общее уравнение плоскости в трехмерной декартовой системе координат выглядит как ах+by+cz=d, где а, b, с и d… … Научно-технический энциклопедический словарь

ПЛОСКОСТЬ - ПЛОСКОСТЬ, простейшая поверхность такая, что любая прямая, проходящая через 2 ее точки, принадлежит ей … Современная энциклопедия

ПЛОСКОСТЬ - ПЛОСКОСТЬ, и, мн. и, ей и ей, жен. 1. см. плоский. 2. (ей). В геометрии: поверхность, имеющая два измерения. Линия на плоскости. 3. (ей). Ровная, гладкая поверхность. По наклонной плоскости катиться (также перен.: опускаться в нравственном… … Толковый словарь Ожегова

плоскость - плоскость, мн. плоскости (неправильно плоскостя), род. плоскостей и плоскостей … Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке

плоскость - Поверхность, которая имеет два измерения. Особо выделяют: плоский индикатор, плоский кабель. Операция окраски плоскости называется закраской. [Гипертекстовый энциклопедический словарь по информатике Э. Якубайтиса] … … Справочник технического переводчика

Книги

• Плоскость и пространство, или жизнь квадратом , Лапин Александр Иосифович , Книга представляет оригинальные исследования автора в области психологии зрительного восприятия плоского изображения, в частности картины, рисунка или фотографии. Это как воображаемое… Категория: Культурология. Искусствоведение Издатель: Тримедиа , Купить за 1913 руб
• Давление на плоскость при ее нормальном движении в воздухе , К. Циолковский , Воспроизведено в оригинальной авторской орфографии издания 1930 года (издательство "Калуга")… Категория: Математика и естественные науки Серия: Издатель:

Возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекций H,V,W:

1) плоскость не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций;

2) плоскость перпендикулярна к одной из плоскостей проекций;

3) плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций.

1.Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций , является плоскостью общего положения (см, рис. 3,1-3.5), Плоскость общего положения (см рис. 3.9) ,пересекает все плоскости проекций. Следы плоскости общего положения не перпендикулярны к осям проекций

2. Если плоскость перпендикулярна к одной из плоскостей

проекций, то возможны три случая:

а) плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции. Такие плоскости называютсягоризонтально проецирующими (рис.3,21, 3.22).

Рис.3.21 Рис.3.22

На рис.3.21 плоскость задана проекциями треугольника АВС. Горизонтальная проекция представляет собой отрезок прямой линии. Угол ф 2 равен углу между заданной плоскостью и плоскостью V. На рис. 3,22 изображена горизонтально проецирующая плоскость b, которая задана следами. Фронтальный след плоскости b перпендикулярен к плоскости Н и к оси проекций X. Угол ф 2 является

линейным углом двугранного угла между горизонтально проецирующей плоскостью b и плоскостью V.

б) плоскость перпендикулярна к фронтальной плоскости проекции. Такие плоскости называются фронтальнопроецирующими.

Рис.3.23 Рис.3.24

На рис, 3.23 фронтально - проецирующая плоскость задана треугольником DEF, фронтальная проекция представляет собой отрезок прямой линии. Угол ф 1 равен углу между плоскостью DEF и плоскостью Н.

На рис.3,24 фронтально - проецирующая плоскость g задана следами. Горизонтальный след g н перпендикулярен к плоскости V и к оси X. Угол ф 1 равен углу наклона плоскости g к плоскости Н;

в) плоскость перпендикулярна к профильной плоскости проекций. Такие плоскости называются профильно- проецирующи-ми,

На рис,3,25 профильно - проецирующая плоскость задана треугольником АВС. Горизонталь этой плоскости перпендикулярна к плоскости W и представляет собой отрезок прямой линии. Угол ф 1 равен углу наклона плоскости треугольника АВС к плоскости Н.

31

Рис.3.25 Рис.3.26

На рис.3.26 профильно - проецирующая плоскость b задана следами. Угол ф 1 равен углу наклона плоскости b к плоскости Н,

Горизонтальный и фронтальный следы этой плоскости параллельны оси Хи, следовательно, параллельны между собой.

3. Если плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций, то возможны три случая:

а) плоскость перпендикулярна к плоскостям V, W т.е. параллельна плоскости Н. Такие плоскости называютгоризонталь-

ными.

Рис.3.27 Рис.3.28

На рис.3.27 горизонтальная плоскость задана треугольником АВС. Фронтальная проекция этой плоскости апробировалась в прямую линию, параллельную оси Х.

На рис.3.28 горизонтальная плоскость задана следами. Фронтальный след этой плоскости параллелен оси X.

б) плоскость перпендикулярна к плоскостям Н и W, т.е. параллельна плоскости V. Такие плоскости называютфронтальными

Рис.3.29 Рис.3.30

На рис.3.29 фронтальная плоскость задана треугольником CDE, Горизонтальная проекция этой плоскости представляет прямую линию, параллельную оси X.

На рис. 3.30 фронтальная плоскость b задана следами. Горизонтальный след этой плоскости параллелен оси X,

в) плоскость перпендикулярна к плоскостям Н и V, т.е. параллельна W. Такие плоскости называютпрофильными.

Рис.3.31 Рис.3.32

На рис.3.31 профильная плоскость задана треугольником EFG, Фронтальная проекция этой плоскости представляет собой прямую линию, параллельную оси Z

На рис.3.32 профильная плоскость a задана следами. Фронтальный и горизонтальный следыэтой плоскости перпендикулярны к оси X.

Прямоугольные проекции на две или три взаимно перпендикулярные плоскости принято называть ортогональными .

Зададим три взаимно перпендикулярные плоскости проекций и точку А в пространстве (Рис.2.1).

Рис. 2.1. Ортогональные проекции точки

V , H , W – плоскости проекций

V – фронтальная плоскость проекций

H – горизонтальная плоскость проекций

W – профильная плоскость проекций

Линии пересечения плоскостей проекций X , Y , Z – оси проекций.

Для того, чтобы получить три проекции точки А , следует из нее опустить перпендикуляры на плоскости проекций. Точки пересечения перпендикуляров с плоскостью V – фронтальная проекция точки A v , с плоскостью Н – горизонтальная проекция точки А н , с плоскостью W – профильная проекция точки А w .

Для перехода к плоскому чертежу, эпюру (от французского слова epure – чертеж, проект) нужно плоскость Н повернуть вниз вокруг оси Х до совмещения с плоскостью V , а плоскость W совместить с плоскостью V , поворачивая ее вокруг оси Z вправо (Рис.2.2а).

Две ортогональные проекции на взаимно перпендикулярные плоскости лежат на прямых, перпендикулярных к соответствующей оси проекции и пересекают эту ось в одной и той же точке. Эти линии называются линиями связи .

Расстояние от точки до плоскостей проекций называются координатами этойточки и могут быть измерены по осям.

1) Расстояние АА w (ХА ) от профильной плоскости проекций является абсциссой точки А ;

2) Расстояние АА v (Y А ) точки А от фронтальной плоскости проекций называется ординатой (на рис.2.1 размер оси Y уменьшен в два раза, т.к. во фронтальной диметрии показатель искажения равен 0,5);

3) Расстояние АА н (Z А ) точки А от горизонтальной плоскости проекций называется аппликатой точки А .

Точка может быть задана ее координатами X , Y , Z , например,

А (,,)

Чертеж, на котором точка или система точек изображаются при совмещенном положении плоскостей проекций называется эпюром или чертежом .

Границы плоскостей проекций на эпюре обычно не показываются. Во многих случаях бывает достаточно двух плоскостей проекций, в этом случае проводится только одна ось проекции Х (Рис.2.2б).

2.1.1. Безосный эпюр

Изображения (проекции) точки, линии, плоской фигуры или пространственной формы на плоскостях проекций не изменятся, если плоскости перемещать по отношению к проецируемому объекту параллельно самим себе. При этом расстояния проецируемого объекта от плоскостей проекций изменяются, но это обстоятельство не имеет никакого значения для решения многих задач. Так, на технических чертежах оси проекций обычно не показывают. Поэтому на эпюре в ряде случаев можно не изображать осей проекций. Пример безосного чертежа точки приведен на рис.2.2в.

Рис. 2.2. Чертёж (эпюр) точки: а) на три плоскости проекции;

Б) на две плоскости проекции; в) безосный

2.2. Ортогональные проекции прямой

Чтобы построить проекции какой-либо линии, нужно задать проекции двух ее точек и соответствующие проекции этих точек соединить (Рис.2.3). Относительно плоскостей проекций прямые могут занимать частные или общие положения.

Рис. 2.3. Проекции отрезка прямой

На комплексном чертеже плоскость может быть задана изображениями тех геометрических элементов, которые вполне определяют положение плоскости в пространстве. Это:

1) три точки, не лежащие на одной прямой (рис. 30);

3) две параллельные прямые (рис. 27);

4) две пересекающиеся прямые (рис. 28).

При решении некоторых задач целесообразно задавать на комплексном чертеже плоскость ее следами (рис. 31).

СЛЕДОМ ПЛОСКОСТИ называется прямая, по которой данная плоскость пересекается с плоскостью проекций.

На рис. 31 изображена плоскость? и ее следы: с -- горизонтальный; а -- фронтальный; b -- профильный. Следы плоскости сливаются с одноименными своими проекциями: след с = с"; след а = а""; след b = b""". Точки называются точками схода следов.

2. Проекции плоскостей уровня

Плоскостями уровня называются плоскости, параллельные плоскостям проекций.

Характерная особенность этих плоскостей состоит в том, что элементы, расположенные в этих плоскостях, проецируются на соответствующую плоскость проекций в натуральную величину.

Горизонтальная плоскость

Горизонтальная плоскость (рис. 32) параллельна горизонтальной плоскости проекций.

На рис. 32 изображена горизонтальная плоскость? (? V).

Фронтальная плоскость

Фронтальная плоскость (рис. 33) параллельна фронтальной плоскости проекций.

На двухкартинном комплексном чертеже она изображается одним фронтальным следом, параллельным оси x.

На рис. 33 изображена фронтальная плоскость? (??).

Профильная плоскость

Профильная плоскость (рис. 34) параллельна профильной плоскости проекций.

На двухкартинном комплексном чертеже она изображается двумя следами: горизонтальным и фронтальным, перпендикулярными оси x.

На рис. 34 изображена профильная плоскость? (? H,V).

3. Проекции проецирующих плоскостей

ПРОЕЦИРУЮЩИМИ называются плоскости, перпендикулярные к плоскостям проекций.

Характерной особенностью таких плоскостей является их собирательное свойство. Оно заключается в следующем: соответствующий след -- проекция плоскости -- собирает одноименные проекции всех элементов, расположенных в данной плоскости.